Преобразование из десятичной системы в недесятичную

В компьютерах числа представленные с помощью элементов, которые имеют два стойкие залога, соответствующие значениям 0 и 1, т.е. двоичным цифрам. Ряд таких элементов своими залогами представляет последовательность двоичных цифр, т.е. число в двоичной записи. Итак, в компьютере числа представленные и обрабатываются в двоичной системе. Тем не менее людям удобнее вводить числа в компьютер и получать их от его в десятичной системе. Так возникает задача переведения записи числа с одной системы в другую, в частности, из двоичной в десятичную и наоборот.

Запись хп… х,х0 .х_,…х_к с недесятичными цифрами задал число, которое является суммой чисел, обозначенных цифрами и умноженных на соответствующие степени основы Р. Итак, чтобы найти десятичное представление числа, надо:

представить в десятичной системе число Р и цифры записи; вычислить сумму произведений значений цифр и соответствующих степеней числа P..

Примеры

100112 =1-24 +0-23 +0-22 +1-2′ +1-2° =19
10,0112 =1-2′ +0-2°+0-2-‘ +1-2″2 + 1-2-3 =2,375 1ВСІб=1-162 +11161 +1216° =444 1В,С, =1-16’ +11-16° +12-16-1 =27,75;
12,23 = 1-3и +2-3°+2-3~’ =5,666…, т.е. представляется бесконечной периодической десятичной дробью. Н

Напомним: если основа Р имеет простые делители, отличные от 2 и 5, то дробовое число с конечной записью может иметь бесконечное периодическое десятичное представление. Если же простыми делителями Р є лишь 2 и 5, то и десятичная дробь конечная.

Рассмотрим, как за натуральным числом Ту десятичной записи получить цифры. Нам не известные ни самые цифры, ни их количество. Но известно, что запись задает число как сумму произведений значений цифр на соответствующие степени числа Р, т.е.

при некоторому неизвестному п и неизвестных цифрах х, исполняется равенство

Т = хп-Р»+… + хгР1+х 0-Р°.

Заметим: все слагаемые, кроме последнего, имеют множитель Р. Тогда значением младшей цифры х0 есть остаток от деления Т на основу Р, а сумма Тх =хп -Р»~1 +… + х 1-Р° равняется целой частице отделения Тп&Р. Поделивши эту сумму на Р с остатком, найдем остаток хх и следующую частицу, и так далее, пока на каком-то шаге частица от деления не станет меньше Р. Она и буде старшей цифрой хп.

Примеры. Переведем 202 в восмеричную систему.
202:8 = 25 (остаток 2 — младшая цифра),
25:8 = 3 (остаток 1 — следующая цифра).
3:8=0 (остаток 3 последняя старшая цифра).
Итак, получена цифры 2,1,3 (от младшей до старшей), т.е. запись 3128. В
Переведем 202 в 16-ричную систему.
202:16=12 (остаток 10 — значение младшей цифры А),
12:16 = 0 (остаток 12 значени—значение старшей цифры С),
Итак, 16-получено запись СА16.

Переведение дробовых чисел. Рассмотрим, как за додатним действительным числом V < 1 получить цифры его Р-кового записи (по крайней мере несколько первых, поскольку в действительности запись может быть и бесконечным). Предположим, что V = х_, • Р»1 +… + х_к Р’к +,.. с неизвестными значениями цифр. Если обе части равенства помножить на Р, получим равенство

Vx = x_t+x2-P~l +… + х_гР~ш +…,а6в

Vx = x_l+P’\x_2+…+ x_rP~k*-2 +…).

Отсюда

x_l=[Vx],nP-l(x_2+… + x_l!P-k+2+…) = {Vx},

где [ Vx Р] и {Vx Р} обозначают целую и дробовую части Vx P. Дальше так же помножим {Vx Р} нар, снова получим целую и дробовую часть

(целая буде значением х_2), и так далее.

Примеры. Получим двоичную запись десятичной дроби 0,75.

0,75×2 = 1,5, [1,5] = 1 (перша цифра), {1,5} = 0,5;

0,5×2 = 1, [1] = 1 (следующая цифра), {1} = 0.

Все дальнейшие цифры будут 0, поэтому 0,11 є конечным двоичным представлением для десятичного 0,75.

Получим двоичную запись десятичной дроби 0,1.

0,1×2 = 0,2,[0,2] = 0(перша цифра), {0,2} =0,2;

0,2×2 = 0,4, [0,4] = 0 (следующая цифра), {0,4} = 0,4;

0,4×2 =0,8, [0,8] = 0 (наступна цифра), {0,8} = 0,8;

0,8×2 = 1,6, [1,6] = 1 (следующая цифра), {1,6} = 0,6;

0,6×2 = 1,2, [1,2] = 1 (заступная цифра), {1,2} = 0,2.

Дальше цифры 0,0,1, 1 будут бесконечно повторяться, т.е. точная двоичная запись десятичного 0,1 есть периодическим 0,0(0011), а любое начало этой записи обозначает приближение к десятичному 0,1, например,

0,00011 = —+— = 0,09375 (ошибка — приблизительно шесть тысячных).

16 32 v F ‘

Получим 16-ковий запись десятичной дроби 0,8.

0,8×16 = 12,8, [12,8] = 12 (першацифра С), {12,8} = 0,8.

Дальше цифра Сбуде бесконечно повторяться, поэтому 0,(С) есть 16-точным ковим записью десятичного 0,8. S

Если Ve конечной десятичной дробью и основа Р имеет оба простые множителя 2 и 5, то число V можно представить конечным Р-ковим записью. В другом случае Р-ковий запись может быть бесконечной, и тогда за конечное количество шагов будет получено приближенное представление числа V.

Итак, за действительным числом V, V < 1, можно получить R первых цифр его Р-кового представление, выполняя такой алгоритм.

1. Сначала представлением есть «0.».

2. Пока получено меньше за R дробовых цифр, вычислить VXP, вычислить d как [VXP] (целое число от 0 до Р-1) и V как {VXP}. Представить значение d как Р-кову цифру и дописать ее к представлению по правую сторону.

Целые и дробовые числа переводятся в недесятичную систему алгоритмами. Если надо перевести число, которое имеет целую и дробовую части, надо выделить эти части и перевести их отдельно. Вообще, перевести запись числа из недесятичной системы исчисления в другую недесятичную непросто, поскольку при этом необходимо выполнять много арифметических действий в непривычной недесятичной системе. Тем не менее это сделать просто, используя десятичную систему как промежуточную.