Позиционные системы исчисления

Человек, привыкший к десятичной системе записи чисел (системы исчисления). Эта система постепенно совершенствовалась на протяжении тысячелетий, начиная с Вавилона и Индии. В Средневековье она стала известная арабам и благодаря ним пришла в Европу. В десятичной системе есть десять знаков — цифр, которыми записывают числа от 0 до 9. Большие числа записывают теми самыми знаками, но не одним, а двумя и больше, т.е. число записывают как последовательность знаков. В этой последовательности знаки имеют разные позиции поэтому цифра по правую сторону обозначает количество единиц, следующее -количество десятков, и так далее. Итак, одна и та самая цифра в зависимости от позиции имеет «разный вес». Например, в записи 32 цифра 2 задает две единицы, а в записи 23 -два десятки. Поэтому эту систему записи чисел называют позиционной.

История человечества оставила в наследство не только десятичную систему записи чисел. В некоторых странах люди и до сих пор подсчитывают предметы дюжинами (12 предметов) тягросами (12 дюжин). Для записи чисел в такой системе нужны 12разных знаков. Некоторые народы использовали 60разных знаков, некоторые — пять.

Все указанные системы имеют разные количества знаков (10,12,60, 5), которые называются основами.

Кроме позиционных систем, известные и непозиционные. Некоторое употребление и до сих пор мж римская система исчисления, которая возникла в Давнем Риме. В этой системе запись следующего числа образовывается не новой цифрой, а добавлением цифры: І, II, III, поэтому ее называют адитивною. Конечно, правила образования записей чисел этим не исчерпываются; они намного более сложные, чем в позиционных системах, и рассматривать их подробнее не будем. Особенно неудобно в римской системе выполнять арифметические операции, и недаром она не стала «рабочей» для человечества.

Возвратимся к позиционной десятичной системе. Цифру по правую сторону в записи числа называют младшей («она записана в младшем разряде»), по левую сторону — старшей. Разряд единиц называют нулевым, разряд десятков — первым, сотен -вторым и т.п.. За такой нумерации вес разряда отвечает степени числа 10: единица — это 10°,десяток — это 10и,сотня — это 102 и т.п..

Итак, расположение цифры в тому или другому разряде является прямым указанием, на которую степень числа 10 надо помножить цифру. Отсюда число можно записать как сумму произведений цифр числа на соответствующие степени десятки. Например,

5834 = 5-Ю3+ 8-102 + 3-10’+4-10°.

Если запись числа имеет дробовую часть, то прибавляются цифры, делимые на число 10в соответствующей степени, например,

0,234 = 2 .J- + 3—!- + 4 ~ 10 102 103

Рассмотрим какую-нибудь позиционную систему исчисления с основой, отличной от 10, например, 7.

Аналогично к десятичной, эта система должна иметь такие свойства:

• для записи чисел есть семь цифр 0,1,2,3,4,5,6;

• значение цифры зависит от ее расположения (позиции) в записи;

• вес каждого разряда числа является соответствующей степенью семерки.

Итак, первые числа записываются как 0,1,…, 6, а дальше идут записи 10,11, …, 16,20,21, …,66,100,… .Семеричное 10 — это обычное десятичное 7 (но же нет такого знака в сімковій системе!), Семеричное 11 -это обычное 8,20-это обычное десятичное 14, т.е. дважды по 7, и т.п.. А Семеричное 100 и 200 — это десятку 49 и 98, т.е. один и два раза по 7 в квадрате.

А теперь подадим суммами степеней семерки такие числа (о сімковий запись свидетельствует маленькая цифра 7 возле числа):

3427=3-72+4-7’+2-7° 63017=6-73+3-72+0-7’+1-7

2. Преобразование чисел из недесятичной системы в десятичную

1 2 0,127= —+ — 32,56, =3-7’+2-7°+4 + 7

Этот способ записи используется в позиционных системах исчисления с любой основой (больше 1). Вопрос в том, какие знаки являются цифрами. Если основа не больше десяти, используют обычный набор десятичных цифр (из него берут столько знаков, сколько надо). Тем не менее для системы с основой больше десяти нужны дополнительные знаки, чтобы обозначать десятичные числа 10,11, … .

В XX столетии для этого стали использовать последовательные прописные буквы латинского алфавита -А, В, С.

Примеры. В двоичной системе исчисления лишь две цифры — 0 и 1.

Двоичная запись 1101 обозначает число 1 • 23 +1 • 22 + 0 • 2и +1-2° =13, запись

0,101-число 1-2″‘+0-2-2+1-2-3 =0,625.