О ЕДИНСТВЕ МАТЕМАТИКИ

Когда в предыдущей главе мы говорили о формуле закона Кулона, которую можно рассматривать либо со ссылкой на взаимодействие зарядов, либо без нее, мы, по существу, затронули принятое ныне деление математики на чистую и прикладную. Проблема четырех красок состояла в нахождении минимального числа различных цветов, которыми можно раскрасить любую карту таким образом, чтобы каждые две соседние страны были окрашены в разные цвета. Совсем недавно американские математики К. Аппель и В. Хакен доказали, что любую карту можно раскрасить описанным образом четырьмя различными красками. Решение было получено с существенным использованием ЭВМ. Проблема была сведена к некоторым частным вопросам чисто арифметического характера, на которые можно было получить ответ, проведя конкретные числовые расчеты. Расчеты потребовали больших вычислений, немыслимых без современной вычислительной техники.

При этом исследования ведутся с достаточной общностью, устанавливаются общие методы и алгоритмы для решения

[smszamok]

широкого круга задач. В прикладной математике при изучении математических моделей обычно обращаются к отраженным в них реальным явлениям (например, используют экспериментально полученные зависимости между параметрами процессов и т. д.). Поскольку математическое описание конкретных явлений получается на основе численных характеристик, в прикладной математике большую роль играют численные методы решения задач. Поэтому любые численные методы принято относить к прикладной математике. Говоря о делении математики на чистую и прикладную, мы, впрочем, не сумели бы провести четкую границу между ними. Это невозможно: математика едина. Одни и те же методы применяются и в чистой и з прикладной ее части; та И другая постоянно оказывают друг на друга глубокое влияние. Поэтому чистую математику и численные методы следует изучать как единое целое. В частности, численные методы разумно изучать на основе теоретического курса, а не подменять теоретический курс набором рецептов ДЛЯ численного решения задач. Отдавая себе отчет в том, что отдельный пример не является доказательством, все же приведу в подтверждение сказанного случай, который произошел с одним профессором МГУ,

Несколько лет назад он был приглашен консультантом в некий институт, и первая задача, с которой он столкнулся, состояла в табулировании значений одного трехкратного интеграла от функции, зависящей еще от нескольких параметров. Были уже составлены программы для вычисления соответствующих таблиц, расчеты по которым должны были занять около полугода работы на ЭВМ, имевшейся в институте. Профессору показалось, что рассматриваемый интеграл напоминает ему что-то встречавшееся в теории функций Бесселя. Через два-три дня ему действительно удалось, используя аналогии с преобразованиями интегралов в указанной теории, свести злополучный трехкратный интеграл к однократному, вычисление нужных значений которого на той же ЭВМ потребовало меньше суток! Экономический эффект от этого предложения был огромен. Этот случай красноречиво говорит о важности математического мастерства и общей математической культуры, о значении настоящего математического образования. Сказанное вовсе не следует понимать как принижение роли ЭВМ в современных математических исследованиях. Вклад компьютеров в современную математику огромен. Благодаря им возник принципиально новый метод исследования — вычислительный эксперимент. Они дают в руки математиков принципиально новые возможности также и для изучения теоретических проблем. Это было убедительно подтверждено решением знаменитой проблемы четырех красо.

Огромная роль ЭВМ на нынешнем этапе развития математики должна быть учтена и в ее преподавании. С самого начала, еще при изучении теоретических основ, следует идеологически готовить студента к численному решению задач, как к следующей, в известном смысле более сложной, ступени изучения математических моделей, и вместе с тем прививать ему практические навыки обращения с вычислительной техникой: для современного студента использование ЭВМ должно быть столь же естественным и простым, каким для школьника было обращение к таблице логарифмов или синусов. Целесообразно обращать внимание на характер доказательства той или иной теоремы, отмечая, когда он является алгоритмическим или когда он приводит к практически применимому алгоритму. Такое методическое построение математических курсов обеспечивает неразрывную связь теоретических методов и численных, не противопоставляя одни другим.

Поскольку прикладные аспекты математики неотрывны от теоретических, содержание общего курса математики не может быть определено с чисто прагматической точки зрения, основанной лишь на специфике будущей специальности студентов. После того, как студент усвоил необходимую сумму математических знаний, его можно учить построению математических моделей для явлений, относящихся к его специальности. Но вот вопрос: в каких учебных курсах следует учить его этому? В курсе математики? Или в курсах по специальности? Думается, что ведущую роль в построении математических моделей должны играть специалисты: они понимают существо моделируемых явлений лучше, чем кто-либо. {Это, конечно, не исключает участия математиков, да и практика доказывает целесообразность такого участия.) И если уж учить этому студентов, то делаться это должно в специальных курсах на высоком профессиональном уровне. Следует оговориться сразу: речь идет не о каком-то разделе сфер влияния, а об эффективном сотрудничестве в зонах соприкосновения. У многих естественнонаучных специальных курсов есть нечто общее с курсом математики. Однако это общее там и тут рассматривается под разными углами зрения.

Например, уравнение Шредингера может фигурировать и в курсе теоретической физики и в курсе математики. Физик, остановившись на каком-либо члене уравнения, интересуется его физическим смыслом. В курсе математики естественны другие вопросы: как влияет изменение данного члена уравнения на существование решения, его единственность, его асимптотическое поведение, на корректность постановки задачи, на устойчивость решения и т. д. Научить подобным вещам, кстати, совсем не просто, а когда студент этим овладеет, он легко усвоит и конкретные факты, нужные ему по его специальности, которые должны быть изложены в специальных курсах.

Правда, в настоящее время подготовка специалистов по математическому моделированию находится в основном в руках математиков. Это, по-видимому, неизбежно, поскольку достаточно квалифицированно этот вопрос может быть решен лишь на основе хорошего математического образования. Однако, возможно, недалек тот день, когда нужное математическое образование будут иметь также студенты технических и биологических, медицинских и экономических вузов, что позволит там и готовить специалистов по математическому моделированию. Вопрос о подготовке таких специалистов делается сейчас одним из самых важных и актуальных вопросов современного образования. Успех здесь возможен опять-таки лишь при хорошей координации усилий математиков и специалистов в соответствующих областях.

Особенно на вопросы математического моделирования следует обратить внимание в тех науках, в которых в настоящее время лишь создаются основные математические модели для изучаемых объектов.

[/smszamok]

Тем, кто ради легкого изучения математики предлагает преподавать ее на нестрогом, «интуитивном» уровне, можно напомнить, что интуиция весьма ненадежный союзник исследователя. Был в математике период, когда считалось, что касательную можно провести к графику любой непрерывной функции. Лишь к концу прошлого века выяснилось, что это не так: были выдвинуты примеры таких непрерывных функции, к графикам которых касательную нельзя провести ни в одной точке. Поначалу эти примеры казались экзотическими диковинками, однако вскоре обнаружилось, что такие функции имеют немалую практическую ценность: ими удобно описывать броуновское движение и другие так называемые стохастические процессы.