Немного о совершенных числах

О совершенных числах написано много, но самих их найдено мало — всего-навсего двадцать четыре. Вспомним, что совершенными называются числа, равные сумме своих младших делителей. Например, младшие делители совершенного числа 6 — это 1, 2 и 3, совершенного числа 28—1, 2. 4. 7 и 14. Как видите, 1+2 + 3 = 6, а 1+2 + + 4 + 7 + 14 = 28.

Эти первые два совершенных числа были известны еще в глубокой древности. Следующие два (496 и 8128) нашел в IV веке до н. э. Евклид. И лишь полторы тысячи лет спустя было найдено пятое совершенное число (33 550 330). До середины XX века обнаружено еще семь таких чисел. С 1952 года в поиски включились электронно-вычислительные машины. И если первое совершенное число (6) однозначно, то двадцать четвертое содержит уже свыше 12 000 знаков.

Впрочем, Евклид не только отыскал два совершенных числа, но и дал ключ к поискам всех четных совершенных чисел. Он доказал, что четное совершенное число имеет вид 2р-1 • (2р — 1), где р — число простое (то есть делящееся только на себя и на единицу) и при этом 21> — 1 также должно быть числом простым. А вот бесконечно ли множество четных совершенных чисел и есть ли хотя бы одно нечетное совершенное число — это так до сих и неизвестно. Совершенные числа в XVII веке искал и французский математик Мерсенн, Он предположил, что при р = = 17, 19, 31, 67, 127 и 257 формула Евклида дает числа совершенные. Сам Мерсенн, однако, проверить свое предположение не сумел: помешала сложность вычислений. Правоту Мерсенна для р = 17, 19 и 31 доказал в XVIII веке Леонард Эйлер. Правда, впоследствии была обнаружена ошибочность предсказаний для р = 67 и 257, что не мешает нам, впрочем, называть числа вида 2р — 1 числами Мерсенна.

Из-за трудности нахождения и таинственной непостижимости совершенные числа в старину считались божественными. Так, средневековая церковь полагала, что изучение совершенных чисел ведет к спасению души, что нашедшему новое совершенное число гарантировано вечное блаженство. Существовало также убеждение, что мир потому прекрасен, что сотворен создателем за 6 дней. А вот род человеческий, дескать, несовершенен, ибо произошел от несовершенного числа 8. Ведь именно 8 людей спаслось от всемирного потопа в Ноевом ковчеге. Надо бы возразить, что в том же ковчеге спаслись еще семь пар чистых и семь пар нечистых животных, что в сумме составляет совершенное число 28. Да и вообще легко обнаружить множество подобных совпадений. Например, руки человеческие можно объявить совершенным орудием по той причине, что в десяти пальцах насчитывается 28 фаланг…

Но оставим в покое мистику и вернемся к математике. Однажды, задумавшись над рукописью, автор этих строк машинально начертил на полях квадрат, затем провел в нем диагонали и заметил, что вершины его соединены шестью отрезка-‘ ми. Это показалось забавным. Ведь 6 — число совершенное! Разумеется, до каких-либо выводов было далеко: одна ласточка, как известно, весны не делает. И все же совпадение заинтересовало. Затем был вычерчен куб и проведены все возможные диагонали — в каждой грани и в самом кубе. Подсчитаем: 12 ребер, да 2X6 диагоналей граней, да 4 диагонали куба… Что такое? 28. Снова совершенное число!

Что же дальше? Чертим тетраэдр и видим, что вершины его соединены шестью ребрами. А теперь подумаем вот над чем: в квадрате и в тетраэдре по четыре вершины, в кубе — восемь. Но ведь 4 = 22, а 8 = 23. Следовательно, какая-то зависимость намечается…

Затем построим восьмиугольник — у него, как и куба, тоже восемь вершин. В восьмиугольнике 20 диагоналей. Прибавим к ним восемь сторон, получим совершенное число 28. Продолжая поиски, обратимся к семигранной пирамиде. У нее 7 ребер, 7 сторон основания, а у основания — 14 диагоналей. И все это вместе (7 + 7 + 14) составляет опять-таки 28! Теперь это уже не кажется случайностью. Остается рассмотреть задачу в общем виде. Доказательство ее на редкость элементарно. До чего же порой извилисты пути к простому и очевидному! Как известно, число отрезков, соединяющих попарно п точек (в данном случае вер-п(п-1) шин), равно

Ну, 2 а если число этих точек п = 2Р, где р — простое число, да к тому же 2Р — 1 тоже простое, то получим 2Р(2р—1) или 2Р-1 (2р—1). 2 Но это же известная формула Евклида для множества четных совершенных чисел! Таким образом, если в пространстве (или на плоскости) разбросать 2р точек (где р удовлетворяет условиям Евклида), так что никакие три точки не лежат на одной прямой, то число отрезков, соединяющих попарно все эти точки, будет числом совершенным.

Вот как Евклид, автор формулы совершенных чисел, неожиданно объединился с Евклидом-геометром.