Каковы цели преподавания математики в вузе?

Сообщить студентам определенный круг знаний, научить их использовать изученные математические методы, развить их математическую интуицию, воспитать в них математическую культуру — так можно определить эти цели вкратце. Разберем теперь их подробнее. Преподавателя, стремящегося дать своим студентам добротное математическое образование, всегда подстерегает соблазн излагать материал «в полном объеме». Однако следует помнить, что результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения, умением ее использовать, способностью студента к дальнейшему самообразованию. Лучше знать меньше, да хорошо, нежели иметь поверхностное знакомство со многими вопросами.

Поэтому надо всегда тщательно намечать необходимый для студента минимум знаний, и только после его освоения можно допускать дальнейшее увеличение изучаемого материала. Имея прочную базу знаний, студент на ее основе легко продолжит дальнейшее образование в нужном направлении. В этом случае качество легко переходит в количество.

В обширном круге знаний, излагаемых в курсе математики, центральное место, безусловно, должны занимать алгоритмы решения типичных задач, которые могут встретиться студенту в его дальнейшей работе. К сожалению, а вернее — к счастью, применение математики не сводится полностью к использованию заранее разработанных алгоритмов. Нередко для успешного использования математики при решении новых задач надо проявить определенную долю фантазии, искусства в аналитических преобразованиях, проявить определенную изобретательность. Этому также надо где-

то учить, а научить этому, безусловно, гораздо труднее, чем использованию готовых алгоритмов. В курсе математического анализа один из лучших путей к этой цели — решение обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисление неопределенных интегралов.

В последнее время участились предложения исключить эти разделы из традиционного курса математики: зачем, МОЛ, они, если существуют хорошие справочники по дифференциальным уравнениям и неопределенным интегралам, которыми можно воспользоваться при необходимости? Уместно напомнить авторам таких предложений, что известный экзаменационный минимум, который требовал Л. Д. Ландау от желающих стать его учениками, включал в себя экзамен по математике, где предусматривалось вычисление неопределенных интегралов. Вне всякого сомнения, Ландау отдавал себе полный отчет в том, что будущему физику не придется заниматься вычислением интегралов, но он ценил их как средство для воспитания изобретательности и аналитического чутья. Неизвестно, чем это можно было бы заменить с тем же эффектом полезности. К тому же не следует забывать, что использование всякого рода справочников предполагает определенный уровень знаний: надо знать, что требуется найти и где это можно найти.

Для правильной постановки задачи, для оценки ее данных, для выделения существенных из них и для выбора способов решения необходимо обладать еще математической интуицией, фантазией и чувством гармонии, позволяющими предвидеть нужный результат прежде, чем он будет получен. Правильный выбор метода — залог успеха и часто причина того, что в результате будет получено больше полезной информации об изучаемом предмете, чем заранее предполагалось. Это связано с тем, что математический аппарат таит в себе много скрытой информации и скрытого богатства, накапливавшихся в нем в течение веков, благодаря чему формулы могут оказаться «умнее» применяющего их и привести к неожиданным глубоким выводам (вспомним, например, как Дирак предсказал позитрон). По мере накопления знаний и выработки интуиции у студента появляется то, что обычно называется математической культурой. Ее уровень после окончания вуза должен обеспечить умение разбираться в математических методах, необходимых для работы по специальности, но не изучавшихся в вузе, умение читать нужную для этого литературу, умение самостоятельно продолжать свое математическое образование.

Какова должна быть методика преподавания? Когда определена цель обучения, возникает естественный вопрос: а как ее достичь? Преподавание математики (как, впрочем, и других наук) ДОЛЖНО быть по возможности простым, ЯСНЫМ, естественным и держаться на уровне разумной строгости. Тезис о простоте изложения означает прежде всего простоту построения курса В Целом, такую его структуру, при которой делаются акценты на главные принципиальные идеи, а большая часть времени и внимания уделяется основным методам и фактам, ради которых читается курс. Всякая наука имеет свою внутреннюю структуру и свою внутреннюю логику, имеет внутренние связующие звенья, которые не всегда выходят за пределы самой науки, но играют принципиальную роль внутри нее и необходимы для ее понимания, усвоения и применения. Вот почему при изучении математики, говоря словами академика А. Н. Крылова, «должны соблюдаться определенная постепенность и полнота: многое может казаться излишним и непосредственных приложений не имеющим, но оно нужно для ясного усвоения дальнейшего и не может быть пропущено подобно скучной главе романа».